1/7を小数で表すと
1/7 つまり 1 を 7 で割った答えを小数で書くと、0.142857142857142857...と、142857 を無限に繰り返す循環小数になる。
循環小数には繰り返しの最初と最後の数字の上に「・」をつけて書く記法があるので、それを使うと次のように書ける。
. . 1/7 = 0.142857
おもしろいことに、2/7 や 3/7 などの 1/7 の倍数はどれも、その小数部分がこの142857をさらに循環させた数列になる。*1
. .
1/7 = 0.142857
. .
2/7 = 0.285714
. .
3/7 = 0.428571
. .
4/7 = 0.571428
. .
5/7 = 0.714285
. .
6/7 = 0.857142
7/7 = 1
7/7 は当然 1 になるわけだが、１というのは実は 0.999999... と小数部分は 9 が無限に続く循環小数なので、7/7 は999999を繰り返しの単位とする循環小数だと言ってもいい。
. . 7/7 = 0.999999
こうしてみると、142857という数がなにか特別な数なのかと思える。
実はこの 142857 という数はダイヤル数と呼ばれる数の一例なのだ。
ダイヤル数というのは、何倍かしたときにその並び順を変えずに先頭のいくつかの数字が後ろに回るような数のことだ。英語ではサイクリックナンバー cyclic number という。
142857を解剖してみよう。この数の素因数分解は、次のようになる。*2
142857 = 3 x 3 x 3 x 11 x 13 x 37
循環小数の特別簡単な場合として次のような系列がある。
.
1/9 = 0.1
..
1/99 = 0.01
. .
1/999 = 0.001
. .
1/9999 = 0.0001
. .
1/99999 = 0.00001
. .
1/999999 = 0.000001
これを使うと、1/7は次のように書けることになる。
. .
1/7 = 0.142857
. .
142857/999999 = 0.142857
実は、999999 を素因数分解すると、 3 x 3 x 3 x 7 x 11 x 13 x 37 なのだ。
142857 と共通な因数として 3 x 11 x 13 x 37 を持っていることがわかる。
だから、142857/999999 を約分すると、1/7 になるわけだ。
142857 3 x 3 x 3 x 11 x 13 x 37 1 ------ = ---------------------------- = --- 999999 3 x 3 x 3 x 7 x 11 x 13 x 37 7
このように、ある整数の逆数 1/n の小数部分の循環数字列がダイヤル数になるようなものを探すと、いくつかは見つかる。
. .
6桁の循環 1/7 = 0.142857 : 142857 = 3 x 3 x 3 x 11 x 13 x 37
. .
16桁の循環 1/17 = 0.0588235294117647 : 588235294117647 = 3 x 3 x 11 x 73 x 101 x 137 x 5882353
. .
18桁の循環 1/19 = 0.052631578947368421 : 52631578947368421 = 3 x 3 x 3 x 3 x 7 x 11 x 13 x 37 x 52579 x 333667
. .
22桁の循環 1/23 = 0.0434782608695652173913 : 434782608695652173913 = 3 x 3 x 11 x 11 x 4093 x 8779 x 21649 x 513239
そして、やはり 1/7 の小数展開に現れる 142857 は特別に劇的な例なのだ。繰り返しの先頭が0でないようなダイヤル数は、この他にはないのだそうである。
参考までに、分母に9が連続する整数が並ぶ逆数の一部を因数分解付きで列挙すると次のようになる。
1桁 9 = 3 x 3 2桁 99 = 9 x 11 3桁 999 = 9 x 3 x 37 4桁 9999 = 99 x 101 5桁 99999 = 9 x 41 x 271 6桁 999999 = 999 x 7 x 11 x 13 7桁 9999999 = 9 x 239 x 4649 8桁 99999999 = 9999 x 73 x 137 9桁 999999999 = 999 x 3 x 333667 10桁 9999999999 = 99999 x 11 x 9091 11桁 99999999999 = 9 x 21649 x 513239 12桁 999999999999 = 999999 x 101 x 9901 13桁 9999999999999 = 9 x 53 x 79 x 265371653 14桁 99999999999999 = 9999999 x 11 x 909091 15桁 999999999999999 = 999 x 31 x 41 x 271 x 2906161 16桁 9999999999999999 = 99999999 x 17 x 5882353 17桁 99999999999999999 = 9 x ... 18桁 999999999999999999 = 999999999 x 7 x 11 x 13 x 19 x 52579 19桁 9999999999999999999 = 9 x ... 20桁 99999999999999999999 = 9999999999 x 101 x 3541 x 27961 21桁 999999999999999999999 = 9999999 x 3 x 37 x 43 x 1933 x 10838689 22桁 9999999999999999999999 = 99999999999 x 11 x 23 x 4093 x 8779
*1:残念ながら、小数第１位を並べると 124578 だ。これがまた 142857 だったらさらにおもしろかったのだが。
*2:素因数分解の計算には、カシオの提供しているオンラインサービスが便利だ。http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=04000000.%90%94%8Aw%8C%F6%8E%AE%8FW%2F05000000.%95%FB%92%F6%8E%AE%2F12010000.%91f%88%F6%90%94%95%AA%89%F0%2Fdefault.xml
